这篇文章内容我曾经整理于12年8月中，当时公式敲得比较丑陋，敲了不少错别字/错误推导，所以现在重新用打理一遍；反正这篇文章被打开次数只有130次。。。相当于没人看过。。。

提醒一下，前方数学公式高能，非战斗人员撤离！！

好吧，其实公式虽多，但是博文本质还是科普文，面向读者你只要知道以下几个东西即可:向量,标量,点乘,叉乘,偏微分,梯度,散度,旋度

如果你觉得你现在比较浮躁，没时间，或者手头没两张草稿纸可以用，亦或者你看到这里就知道我想讲什么了(学过张量分析)，那么可以右上角了；

前言

学过电磁场这门课的孩子应该深有体会，就是在看书上那些波函数的推导的时候，老是给你冒出一些什么叉乘啊 ，\(\partial\)啊\(\nabla\)啊什么的，最麻烦的还是一些一叉再叉的那些，比如课本突然给你冒出个\(A\times (\nabla \times B)+(\nabla \cdot A)B+B\times (\nabla \times A)+(\nabla \cdot B)A\)东西来，我以前都懒得思考要怎么去理解这玩意儿吧，觉得，唉，就这样了，感觉都不会再爱了。。

直到有一天，某人给了我一份笔记，这辈子第一次感觉读笔记就和炼神功差不多，每一行都非常精妙，而且可以被自己所吸收消化，读完就感觉自己Level MAX了！！【第二次有这种感觉是读变分相关的书籍】再回去看电磁学的书，额。。虽然对物理意义理解帮助不大，但是至少我知道遇到上面那种没品的公式要怎么去变化等价了。而且有了这个方法之后，矢量标量的点乘，叉乘，偏微分的运算什么的就可以很轻易的变换了。额，我再说详细一下，所谓的那些变换就是说，比如说这个吧，这个是微波方程计算过程中经常要用到的一个恒等式：

\(\nabla \times(\nabla\times A)=\nabla(\nabla\cdot A)-\nabla^2 A\)

有了神功，就可以很轻易地证明这些类似的式子成立了。【最大的帮助还是考电磁场/射频的时候不用死记硬背公式~】

好吧，我写这个一是为了将来可以复习，二是为了科普，我将会竭尽可能把这个方法写得详细，有高数基础就可以读得懂的。

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排序算符

看题目就知道，这个方法涉及到一个东西叫做排序算符——\(\varepsilon\)，也叫列维-奇维塔符号(中文wiki戳这里),张量分析里面经常会用到。

其实没那么吓人，这个符号在我们这里的应用就是\(\varepsilon\)下面加三个下脚标\(i\),\(j\),\(k\),得到\(\varepsilon_{ijk}\)，而这个值要怎么计算呢？其实就是个排序的问题，\(ijk\)可以取1,2,3，如果\(ijk\)的顺序是123,231,312的话，那么\(\varepsilon_{ijk}\)就等于1，否则就等于-1，如果\(ijk\)里面有至少两个相等的话，比如\(\varepsilon_{122}\)，那么这个值就是0。嗯，排序算符就是那么简单。至于它的什么矩阵形式啊，你完全不用管。

不知有没有人记得以前我们线代第一节课的时候老师是怎么用公式来表达行列式的值det的？就是用了排序算符的！！所以事实上你是接触过这个东西的，只不过你忘了而已。。

后文中会用到的一个小特性，这里不给出证明：交换任意两个下脚标，\(\varepsilon_{ijk}\)符号取反，比如\(\varepsilon_{ijk}=-\varepsilon_{jik}\)

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爱因斯坦约定

在正式引进排序算符之前我们要介绍另外一个东西，其实不算东西，就是个约定，叫做“爱因斯坦约定”，或者叫“爱因斯坦求和约定”，其实也是超级简单的，我们一般写求和的时候如果每一项具有一定规律性的话，我们就可以用一个\(\Sigma\)符号表达出来，比如说点乘这个计算:

\(\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}=\Sigma A_iB_i\)

哦，对了，本文中粗体就表示矢量，另外像上面那个式子\(\Sigma\)没写从多少加到多少，请见谅。。大家懂得，就是\(\Sigma_{i=1}^{3}\)嘛;额，另外鉴于博客粗体看的不是很清楚，反正呢，大写字母且没有下标如\(\mathbf{A}\),\(\mathbf{B}\),\(\mathbf{C}\),\(\mathbf{D}\)就是矢量，小写字母没有下标就是标量，如\(f\),\(g\)

爱伊斯坦约定是怎么说的呢?它说：如果求和过程中同一个角标变量出现两次，那么就可以不写\(\Sigma\)符号;

上式中\(i\)出现了两次，那么爱因斯坦约定下就是这个式子要对所有的\(i\)求和，所以可以写成下面这个形式：

\(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=A_iB_i\)

所以你知道为什么要区分粗体斜体了吧。。。嗯，在下文中所有的点乘计算我们都用上式来表示，这里要适应一下。

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叉乘

接下来，叉乘中爱因斯坦约定又是怎么运用的呢？(如果想继续往下看，请务必不要跳过此章节！！)

如下面的推导，要计算\(\mathbf{C}=\mathbf{A}\times\mathbf{B}\),先把矢量\(\mathbf{A}\),\(\mathbf{B}\)分别将其展开成各个子分量\(\mathbf{e}_x\),\(\mathbf{e}_y\),\(\mathbf{e}_z\)(这三个就是x,y,z轴单位向量)的和，然后再做叉乘。

\(\begin{eqnarray*}\mathbf{C}&=&\mathbf{A}\times\mathbf{B}\\ & = &(\Sigma A_j\mathbf{e}_j)\times(\Sigma B_k\mathbf{e}_k) \\& = & \Sigma\Sigma A_jB_k(\mathbf{e}_j\times\mathbf{e}_k)\end{eqnarray*}\)

然后这里有个结论，直接默认它成立也行：

\(\mathbf{e}_j\times\mathbf{e}_k=\varepsilon_{ijk}\mathbf{e}_i \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (1)\)

粗鲁一点的话，可以通过枚举来证明的,我们所知道的是:

\(\mathbf{e}_x\times\mathbf{e}_y=\mathbf{e}_z\)

\(\mathbf{e}_y\times\mathbf{e}_z=\mathbf{e}_x\)

\(\mathbf{e}_z\times\mathbf{e}_x=\mathbf{e}_y\)

假设\(\varepsilon_{xyz}=1\),也就是说x→y→z这个是“顺”序，那么上面三个式子完全可以写成：

\(\mathbf{e}_x\times\mathbf{e}_y=\varepsilon_{xyz}\mathbf{e}_z\)

\(\mathbf{e}_y\times\mathbf{e}_z=\varepsilon_{yzx}\mathbf{e}_x\)

\(\mathbf{e}_z\times\mathbf{e}_x=\varepsilon_{zxy}\mathbf{e}_y\)

如果把左右交换过来，也是成立的，举一反三：

\(\mathbf{e}_y\times\mathbf{e}_x=\varepsilon_{yxz}\mathbf{e}_z=-\varepsilon_{xyz}\mathbf{e}_z=-\mathbf{e}_z\)

但是！！(1)式右边的本质是求和！！

好吧，对于刚接触爱因斯坦约定的读者来说，我还是再解释一下，(1)式右边就是等价于:

\(\varepsilon_{ijk}\mathbf{e}_i+\underbrace{\varepsilon_{jjk}}_{=0}\mathbf{e}_j+\underbrace{\varepsilon_{kjk}}_{=0}\mathbf{e}_k\)

因为\(i\)重复出现了两遍，所以是对\(i\)求和，然后展开成三项后，因为后面两项下脚标有重复，所以都等于0；

补充说明：
(1)式中我们得到几个结论：

一，如果希望(1)式右边不等于0，那么很容易得到结论应该有:\(j\ne k\)，因为排序算符\(\varepsilon\)规定了下标出现相同时值为0；【对应于我们的常识，就是同向的两个向量叉乘为0】

二，得到的结果中，我们发现只有\(i\ne j\ne k\)时右边才有值，在\(ijk\)只能分别取x,y,z轴的三者之一的情况下，任意两个向量叉乘必然得到第三个方向(忽略正负)；

三，上一个结论中，右手法则方向问题我故意忽略了，大家明白为什么叉乘不符合交换律了么？

\(\mathbf{e}_j\times\mathbf{e}_k\ne\mathbf{e}_k\times\mathbf{e}_j\)

因为你展开成排序算符之后，左边是\(\varepsilon_{ijk}\mathbf{e}_i\),右边是\(\varepsilon_{ikj}\mathbf{e}_i\),假设\(ijk\)分别取1,2,3,那么\(\varepsilon_{123}=1\)，而\(\varepsilon_{132}=-1\)，所以明白为什么叉乘交换后得到一个相反的向量了么？

总之废话了这么多，只是为了得到下面这个结论：

\(\Sigma\Sigma A_jB_k(\mathbf{e}_j\times\mathbf{e}_k)=\Sigma\Sigma A_jB_k\varepsilon_{ijk}\mathbf{e}_i \)

这里看得不清楚，其实两个\(\Sigma\)下标分别是对\(j\),\(k\)求和，因为式子中\(j\),\(k\)重复出现了，所以再用一次爱因斯坦约定，去掉\(\Sigma\)符号得到：

\(\Sigma\Sigma A_jB_k\varepsilon_{ijk}\mathbf{e}_i=A_jB_k\varepsilon_{ijk}\mathbf{e}_i\)

整理起来就是:

\(\mathbf{C}=A_jB_k\varepsilon_{ijk}\mathbf{e}_i\)

而根据爱因斯坦约定，\(\mathbf{C}=C_i\mathbf{e}_i\)

于是乎我们得到了最终结论:

\(\mathbf{A}\times\mathbf{B}=\varepsilon_{ijk}A_jB_k\)

嗯，没错，推了半天，我就是想得到这个结果！！！！！这个结果千万要记住，不然下面的你也不用看了。

好吧，上面什么都没看懂的孩子，也不要紧，因为你只要知道下面这两个东西成立就行了：

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进阶

好，接下来再来个稍微难一点点的，证明:

\(\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=\mathbf{B}\cdot(\mathbf{C}\times\mathbf{A})=\mathbf{C}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\)

证：

Q.E.D

有了这个方法你就不需要再烦恼忘记了\(\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})\)等于\(\mathbf{B}\cdot(\mathbf{C}\times\mathbf{A})\)还是\(\mathbf{B}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{C})\)了。。

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进阶 Phase II

不知道你是否觉得很有趣？

接下来的事情又会变得稍微再复杂一点，比如说计算\((\mathbf{A}\times\mathbf{B})\times\mathbf{C}\)；

根据我们之前的知识，可以很容易得到下面这个式子：

\((\mathbf{A}\times\mathbf{B})\times\mathbf{C}=\varepsilon_{ilm}\underbrace{(\varepsilon_{ljk}A_jB_k)}_{index~is~l}C_m=\varepsilon_{ilm}\varepsilon_{ljk}A_jB_kC_m\)

PS：这里再强调一遍，注意，千万注意下脚标要怎么写！任何运算请务必参照叉乘要怎么变换成排序算符的表达形式！！

去掉括号后，我们发现有两个排序算符相乘，这里我们先不加证明的给出下面等式必然成立：

\(\varepsilon_{ilm}\varepsilon_{mjk}=\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}\)

好吧，各位不好意思我又要引进一个新符号了，不过这个符号可能也不算陌生人了，大家应该早就接触过了，就算没有接触过也不要紧，因为它超简单！！！\(\delta\)叫克罗内克符号，下面跟着两个角标，如果相等，它的值就是1，不等就是0!!

额。。至于上式怎么证，大家要用到排序算符的矩阵表达形式，超出本文范畴(打公式真心累啊！！！所以偷个懒吧),有充沛的精力但是又不想研究排序算符矩阵表达怎么弄的孩子，再告诉你个方法，自己往里面代1,2,3。。。看看结果对不对。。

好吧，我就继续默认这个式子成立而且大家也会证明啦~(嗯，为了偷懒，我决定节操全部扔出去了！！)

顺便，其实仔细研究会发现这个公式不难记。。记住这个形式，以后遇到类似的就通过移动排序算符下脚标往这个公式靠拢就是了！！移位不行还可以换位啊，大不了乘个-1；

接下来之前那个问题就可以变成下面这个式子了：

\(\varepsilon_{ilm}\varepsilon_{ljk}=\varepsilon_{mil}\varepsilon_{ljk}=\delta_{mj}\delta_{ik}-\delta_{mk}\delta_{ij}\)

接下来代入之前那个式子，有：

\(\begin{eqnarray*}&&\varepsilon_{ilm}\varepsilon_{ljk}A_jB_kC_m\\ & = &(\delta_{mj}\delta_{ik}-\delta_{mk}\delta_{ij})A_jB_kC_m\\& = & \delta_{mj}\delta_{ik}A_jB_kC_m – \delta_{mk}\delta_{ij}A_jB_kC_m\end{eqnarray*}\)

接下来怎么办呢？刚刚有提到过，克罗内克符号下标相同为1，不同为0，于是乎我们很容易发现有下式成立：

\(\delta_{ij}A_j=A_i\)

不懂的孩子我再解释一遍，上式左边其实本质是个求和，因为\(j\)出现了两遍，所以对\(j\)求和，从1取到3，但是只要\(j\)不等于\(i\)，得到的结果就是0，所以最后只剩下\(j=i\)的那一项\(\delta_{ii}A_i\)，此时因为\(\delta_{ii}=1\)，可以不写，所以。。。(够详细了吧。。)

继续，所以之前的计算可以变成这样：

\(\delta_{mj}\delta_{ik}A_jB_kC_m – \delta_{mk}\delta_{ij}A_jB_kC_m=A_mB_iC_m-C_kA_iB_k\)

克罗内克符号跟A,B,C的哪一项组合纯粹看你高兴，反正结果是一样的，不信自己试试。。

上式右边我们可以看出有个点乘，哦，不，减号两遍都有个点乘，所以是两个点乘，但是\(B_i\)乘以\(\mathbf{A}\cdot \mathbf{C}\)是怎么回事？？是这样的，我们只要碰到下脚标完全没有一样的，那么就是一个矢量乘标量而已，因为我们知道\(\mathbf{A}\cdot \mathbf{C}\)的结果是个标量。于是结果就变成下面这个式子啦~

\(A_mB_iC_m-C_kA_iB_k=\mathbf{B}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C})-\mathbf{A}(\mathbf{B}\cdot\mathbf{C})\)

好，汇总一下就是：\((\mathbf{A}\times\mathbf{B})\times\mathbf{C}=\mathbf{B}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C})-\mathbf{A}(\mathbf{B}\cdot\mathbf{C})\)

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综合练习

在我们继续讲下去之前，我们还是再做个小题目吧，其实我对我有没有把事情讲清楚表示很担忧。。。

这次题目我们变换\((\mathbf{A}\times\mathbf{B})\cdot (\mathbf{C}\times\mathbf{D})\)吧。。这个综合了上面的所有知识。

开始：

\((\mathbf{A}\times\mathbf{B})\cdot (\mathbf{C}\times\mathbf{D})=\underbrace{(\varepsilon_{ijk}A_jB_k)}_{i}\underbrace{(\varepsilon_{ilm}C_lD_m)}_i\)

好吧，我这里再苦口婆心的讲多一遍，因为是\((\mathbf{A}\times\mathbf{B})\)和\( (\mathbf{C}\times\mathbf{D})\)两个大东西做点乘，所以它们的求和下标必须一样，这是点乘的运算规则规定的！！

\(\begin{eqnarray*}&=&\varepsilon_{jki}\varepsilon_{ilm}A_jB_kC_lD_m\\ & = &(\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl})A_jB_kC_lD_m\\& = & \delta_{jl}\delta_{km}A_jB_kC_lD_m-\delta_{jm}\delta_{kl}A_jB_kC_lD_m\\&=&A_lB_mC_lD_m-A_mB_lC_lD_m\\&=&(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C})(\mathbf{B}\cdot\mathbf{D})-(\mathbf{A}\cdot\mathbf{D})(\mathbf{B}\cdot\mathbf{C})\end{eqnarray*}\)

好吧，细细读的话，到这里应该不成问题吧。。我觉得我应该把问题讲清楚了。。

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\(\nabla\)算子笔记

好了，现在我们继续研究更加复杂的问题吧~就是开篇里面提到的那个倒三角\(\nabla\)符号，这个符号就是个求偏导的的符号。而且这个符号还经常以\(\nabla^2\)这种极度邪恶的形式出现，我经常不研究这个就会忘掉它究竟是什么意思，这里当做我自己的note吧。。【这一段是小笔记，跟本文主题无关】

\(\nabla\cdot\nabla f=\nabla^2f\)

之前提到过小写字母在本文中是标量，\(f\)可以表示成\(f = f(x,y,z)\)，那么：

\(\nabla f=(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y},\dfrac{\partial f}{\partial z})\)

\(\nabla \cdot \nabla f = \nabla^2 f=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}\)

对于矢量\(\mathbf{A} = (A_x,A_y,A_z)\)，结果就是：

\(\nabla^2 \mathbf{A} =(\dfrac{\partial^2 A_x}{\partial x^2},\dfrac{\partial^2 A_y}{\partial y^2},\dfrac{\partial^2 A_z}{\partial z^2})\)

注意区分结果是矢量还是标量,其实了解梯度散度旋度意义的话就不难区分了

另外一点，虽然是接下来的计算要用到的，这里也不打算证明，因为相信大家学过微积分都会表示很好理解的，就是莱布尼兹公式：

\(\nabla(fg)=f\nabla g +g\nabla f\)

\(\nabla(f\mathbf{A})=f\nabla \mathbf{A} +\mathbf{A}\nabla f\)

可以接受吧。。如果到这里还没有问题的话，我们就可以比较轻松的进行下面的话题了。。

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\(\nabla\) & \(\varepsilon\)

首先我们要介绍的是\(\nabla\)怎么转化才可以和排序算符同时出现在式子里，这里我告诉你，很简单，就是变成\(\partial_i\)，角标怎么变还是跟叉乘，点乘运算有关，比如说下面这个计算，我就不做讲解了，大家自己看就行了，前面看懂这个应该没什么问题的：

计算梯度的旋度

\(\begin{eqnarray*}&&\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A})\\ & = &\varepsilon_{ijk}\partial_{j}\underbrace{(\varepsilon_{klm}\partial_lA_m)}_{index~is~k}\\& = & \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}\partial_{j}\partial_lA_m\\&=&(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\partial_{j}\partial_lA_m\\&=&\delta_{il}\delta_{jm}\partial_{j}\partial_lA_m-\delta_{im}\delta_{jl}\partial_{j}\partial_lA_m\\&=&\partial_i\partial_mA_m-\partial_l\partial_lA_i\\&=&\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A})-\nabla^2\mathbf{A}\end{eqnarray*}\)

额，应该没问题吧。。虽然公式一团挺吓人的，但是就是一只paper tiger。。

然后我们就可以玩弄以前的一些公式了，比如说证明梯度的旋度一定是0，即:

\(\nabla\times(\nabla f)=0\)

证：

Q.E.D

同理可以证明\(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0\)成立：;
证：

Q.E.D

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余兴节目

如果上面都没什么问题的话，剩下的就当做饭后甜点了~

\(\begin{eqnarray*}&&\nabla\times(f\times\mathbf{A})\\&=&\varepsilon_{ijk}\partial_j(fA_k)\\&=&\varepsilon_{ijk}(A_k\partial_jf+f\partial_jA_k)\\&=&\varepsilon_{ijk}(\partial_jf)A_k+f(\varepsilon_{ijk}\partial_jA_k)\\&=&\nabla f\times\mathbf{A}+f\nabla\times\mathbf{A}\end{eqnarray*}\)

继续，我觉得我都不用解释了。。

\(\begin{eqnarray*}&&\nabla\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\\&=&\partial_i(\varepsilon_{ijk}A_jB_k)\\&=&\varepsilon_{ijk}\partial_i(A_jB_k)\\&=&\varepsilon_{ijk}[(\partial_iA_j)B_k+A_j(\partial_iB_k)]\\&=&B_k(\varepsilon_{kij}\partial_iA_j)-A_j(\varepsilon_{jik}\partial_iB_k)\\&=&\mathbf{B}\cdot(\nabla\times\mathbf{A})-\mathbf{A}\cdot(\nabla\times\mathbf{B})\end{eqnarray*}\)

好，好像写了好长了，大家懂了么，我也懒得写了，你知道的，敲公式很累的。。唉。。

留两个大BOSS给大家自个儿慢慢调教去吧~这里会用到上面的所有的知识，如果这个会了，我上面的东西你也就全懂了。。

\(\nabla(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})=\mathbf{A}\times(\nabla\times \mathbf{B})+(\nabla\cdot \mathbf{A})\mathbf{B}+\mathbf{B\times(\nabla\times\mathbf{A})+(\nabla\cdot\mathbf{B})\mathbf{A}}\)

\(\nabla\times(\mathbf{A}\times\mathbf{B})=???????\)

自己算去~

本文公式略多，翘起来繁琐，看起来也繁琐，所以如果发现错误，请务必帮我之指出！！！！！

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【完】

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