总觉得这个博客学术方面至少要来一篇不是讲数学，编程，算法，人工智能的东西，不然，怎么对得起我要学三年的光电子学，不然怎么对得起我老板，TAT，是吧。。。

作为开篇，也作为我学习这个专业后唯一懂得的关于光学的一点东西，反正接下来还要继续搞这个项目，所以先做一下笔记吧~

光栅，就是在光线里面写入特定的周期性的结构，来时的光线具有某种特殊的特性。（是不是觉得比起我以前咯哩八说的，现在这种直切主题的做法很不习惯咧~）

然后布拉格光栅(Fiber Bragg Grating,FBG)呢，是这样一种东西，首先我们有一条光纤，光线的折射率是n₀，然后现在我们在上面改变其中一段的折色率，变成什么呢，变成n₀+Δncos(Kz)，z是沿着光纤方向的位置坐标，也就是说在原本折射率的基础上，叠加了一个呈余弦变化的折射率（一般这个称为微扰折射率），而且这个幅度Δn是非常小的，n₀这种一般是2~5左右，但是Δn一般是10^-4这种数量级的。

加入了这种折射率变化之后会有什么变化呢？嗯，原本折射率处处相等的光线可以让任何波长的光都通过(不考虑色散等任何别的作用)，相当于一个全通的滤波器，现在加上这个之后呢？就变成了一个带阻滤波器。透射谱是带阻滤波器，那么反射谱就是1减去透射谱，那就是一个带通滤波器。一般课本论文里讨论的都是反射谱。FBG的带通的频谱性质类其余一个Sinc函数（这里说的当然是反射谱）。

唉，好烦，下面要敲公式了。。

反射谱公式表示就是:

\(R(l,\lambda)=\dfrac{\Omega^2sinh^2(sl)}{\Delta k^2sinh^2(sl)+s^2cosh^2(sl)}\)

这里l是相互作用长度，λ不用说，就是波长。

除了l和λ，这里引进了几个参数，Ω,Δk，s；这几个参数的计算我们一步一步来。

首先是Ω，这个我们一般称之为交流耦合系数：

\(\Omega=\dfrac{\pi\Delta n}{\lambda}\)

然后再计算Δk，我们还是先说明一下另一个东西，之前不是说微扰折射率等于Δncos(Kz)么，那么这个微扰对应的长度上的周记变化Λ应该等于：

\(\Lambda=\dfrac{2\pi}{K}\)

然后就可以计算Δk了，它等于：

\(\Delta k=\dfrac{2\pi n_0}{\lambda}-\dfrac{\pi}{\Lambda}\)

Δk也叫做直流耦合系数，不过呢，这个Δk是个近似解，我们现在这里说明一下，然后后文会告诉你精确解，以及为什么可以这样近似。

反射谱公式还有最后一个参数，s：

s = Ω²-Δk²

这样我们就可以根据这些参数画出R的波形来了，我们在mathematica上画一下，结果如下图所示：

很像Sinc的波形不是么？

根据反射谱，我们可以计算出在λ_MAX=λ_B(1+Δn/n₀)的地方取得最大值。好吧，有一个新的变量，λ_B，布拉格波长它等于：

\(\lambda_B=2n_0\Lambda\) 

这样我们就可以推出：

\(\quad\lambda_{Max}\\=\lambda_B(1+\dfrac{\Delta n}{n_0})\\=2n_0\Lambda(1+\dfrac{\Delta N}{n_0})\\\approx2n_0\Lambda\)

所以呢，如果 我们想要获得一个FBG，使得它的反射谱在λ_MAX处取得最大值，那么我们就要刻出一个余弦的折射率微扰，它的周期就是：

\(\Lambda\approx\dfrac{\lambda_{MAX}}{2n_0}\)

也算精确解也可以：

\(\Lambda\approx\dfrac{\lambda_{MAX}}{2n_0(1+\Delta n/n_0)}\)

现在我们知道在λ_MAX处取得反射谱的最大值了，最大值是多少呢？

Rmax = tanh²(Ω l)

现在再说一下刚才说的Δk不是精确解这个问题，刚才为什么不说呢，是因为刚才还没有提及到λ_B这玩意儿，现在我们可以给出Δk的精确表达式了：

\(\Delta k=2\pi n_0(\dfrac{1}{\lambda}-\dfrac{1}{\lambda_B})+\dfrac{2\pi\Delta n}{\lambda}\)

在Δn<<n₀的情况下，上式就变成：

\(\quad\Delta k=\\=\dfrac{2\pi n_0}{\lambda}+\dfrac{2\pi \Delta n}{\lambda}-\dfrac{2\pi n_0}{\lambda_B}\\\approx\dfrac{2\pi n_0}{\lambda}-\dfrac{2\pi n_0}{2n_0\Lambda}\\=\dfrac{2\pi n_0}{\lambda}-\dfrac{\pi}{\Lambda}\)

这就回到之前的那个近似表达式了。

嘛，这其实不是什么推导啊什么的，只是我的笔记而已，如果你想知道为什么R的表达式是最上面那个，那你要从微扰耦合那些东西说起，唉，那些东西敲起公式来就更加想死了，所以，我就不在这里胡说八道了。

下面给一段计算R得matlab代码：

Code：

clc;
lambdaB=1553 * 1e-9;
n=1.45;
delta_n=2.0e-3;
L=1e-3;
syms x
omega=pi*delta_n/x;%交流耦合系数

delta_k=2*pi*n*(1/x-1/lambdaB)+2*pi/x*delta_n;%直流耦合系数  精确
% delta_k = 2*pi*n/x-pi*2*n/lambdaB+2*pi*delta_n/x; % 精确
% delta_k = 2*pi*n/x-pi*2*n/lambdaB+2*pi*delta_n/x;%%近似

s = sqrt(omega^2-delta_k^2);

% p=-K*sinh(s*L)/[D*sinh(s*L)+i*s*cosh(s*L)];%反射系数
% r=(abs(p))^2;%反射率
r = omega^2*sinh(s*L)^2 / (delta_k^2*sinh(s*L)^2 + s^2*cosh(s*L)^2);

lamdaRange = [1549.9 1559.9];
lambda=(lamdaRange(1):0.0001:lamdaRange(2))* 1e-9;
R=subs(r,x,lambda);
plot(lambda,R,'b');
xlim(lamdaRange*1e-9);
%%绘制最大值点
hold on;
plot(lambdaB+dn*lambdaB/n,subs(tanh(omega*L)^2,x,lambdaB),'ro');

【完】

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