几个月前写过一篇关于分析用傅里叶变换来计算频率与选取正弦波周期数的关系的博文，今天来讨论一下计算幅度的问题。

不过在此之前还是请让我重述一下下面这两个已经老生常谈的东西（写毕业论文不就是这样么，前面都是一大堆本科生都懂的常识性东西。。）：

一，对于离散序列的连续时间傅里叶变换DTFT，得到的结果是一个连续的，以2\(\pi\)为周期的函数。而FFT，是快速傅里叶变换的英文简称，它所做的，不是离散时间傅里叶变换DTFT，而是离散傅里叶变换DFT，也就是说，它把一个离散序列变换完，得到的是一个离散的序列，那么这个离散的序列和DTFT得到的连续周期函数有什么关系呢？我们可以认为它是后者的一个周期的采样的结果。

二，理论上来说正弦函数sin(ωt)的傅里叶变换结果应该是两个无穷细的冲激函数，但是FFT出来的结果应该是如下图所示，原因吉布斯(振铃)现象在之前那篇博文里面已经解释过了，这里就不累述了！ 阅读全文…

这是最近研究的一个很有意思的东西~

之前发了一篇笔记式的AR谱分析算法的东西，当时说了，AR模型是谱分析里面最最最基础的模型算法，它的思想就是通过一个采样得到的信号x[n]，算出一系列AR参数a_i来，使得下式重构出来的信号与原来的信号误差最小：

\(x_{re}[n]=-\sum_{i=1}^{p}a_ix[n-i]\)

或者说计算出一系列AR参数a_i来，使得\(x[n]=-\sum_{i=1}^{p}a_ix[n-i]\)成立！

其中a_i的个数，也就是上式中的p，就是AR模型的阶数，之前那篇博文就列举和对比了几种计算a_i的算法及仿真。

然后就是今天的主角，Prony模型，如果要阅读下去，首先要对上面的那几行要有所理解，因为Prony是基于AR模型来求解的！！

首先什么是Prony模型呢？Prony模型就是说，我们把原来的信号分解成下式：

\(x(t)=\sum A_ie^{(\alpha_i+j\omega_i)t}\)

说明几点，首先就是说，上面的式子表示，Prony模型构建思想就是把原始信号x(t)分解成一系列的不同幅度，不同衰减系数，不同频率的信号的叠加。就好像傅里叶变换是把原始信号分解成一系列不同频率幅度的正弦信号的和一样，只是我们这里多了个衰减系数α_i，其他参数也解释一下，ω_i就是每个子信号的频率，A_i是信号的幅度，必须一提的是，A_i可以是个复数，什么意思？就是说每个子信号还可以有一定的初始相位，懂？

哦，对，另外一点就是，离散信号的话，就是把上式的t变成nΔt就行了嘛。

然后Prony模型要干的事自然就是把这个振幅相位频率衰减全部给求解出来啦~没错，Prony模型就是根据采样得到的信号x[n]把每个子信号上述三个参数给解出来！！ 阅读全文…

前阵子自学了一下谱分析的东西，嘛~也就一点皮毛，现在把笔记放上来，Mathematica版本的。。

其实说白了AR就是谱分析里面一个弱到不能再弱的算法了，但是没办法，后面很多新方法，都是以此为基础的，而且。。俺们老板92年发表的一个谱分析的算法也是以此为基础的。。囧。。

谱分析，就是根据一段信号有限时间范围内的采样得到的样本，这个样本既包含噪声，也包含信号，谱分析目的就是为了把原始信号的功率谱给计算出来！

哦，对了，千万千万别问我问什么不用福利叶变换。。。。。

我们这里实验用的是一个衰减的信号，采样频率50Hz，50个点，模型阶数为6，其实这些参数怎么样都好。 阅读全文…